昔日文章
當「紀錄」遇上「調和」 105
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    08/2014
    文:張家麟博士 ── 香港教育學院數學及資訊科技學系助理教授、「恒隆數學獎」執行委員會成員,曾獲2005年香港中文大學理學院優秀教學獎,2010年及2011年香港教育學院文理學院卓越教學獎,以及首屆傑出教學表現校長獎項等。
     
    假如氣候穩定,你估計在一千年內,會有多少個總降雨量可破紀錄的年頭?這是一個有趣的問題,數學家會這樣想:所謂「氣候穩定」,意指季節氣候的變化有序,本年的變化與之前或之後的年頭,各自獨立。這樣,第一年自然只有1個紀錄(即1/1)。由於第二年與首年各自獨立,故只有1/2的可能性「會」破紀錄(另外1/2的可能性「不會」),因此首兩年累積破紀錄總數的「期望值」是1/1 + 1/2。推而論之,1000年內破紀錄總數的期望值是1 + 1/2 + . . . + 1/1000!
     
    數學家稱1+1/2+ . . . +1/n為n項的「調和級數」,其中n是正整數。若n是一個很大的整數時,可利用0.577+2.3logn來計算它的近似值。例如n = 100和1000時,我們可算得破雨量紀錄的總數大約分別是5和8。將這結果與近年在傳媒中有關「百年一遇」或「千年一遇」的雨量報導作對照和思考,精明的你對「氣候穩定嗎?」和「我們需要環保嗎?」這種問題,相信已「心中有數了」!
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