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象棋有必不敗之法? 472
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    10/2014

    文:陳鍵行博士─美國伊利諾大學芝加哥分校數學博士畢業。現於美國任職遊戲數學師,專責設計遊戲裏的數學。資料來源:「數學資料庫」(www.mathdb.org)

     

    從古到今,各國都出現過很多象棋高手,天天鑽研象棋的步法和棋局,希望能夠找到最好的棋步,打敗所有對手。有人認為象棋這種千變萬化的遊戲並不存在永遠不敗的步法,但數學告訴我們這種步法是存在的!

     

    象棋棋盤上能出現的佈局數量和每步的步法有限,若棋手都盡力爭勝而令佈局重覆,那便會出現不斷循環的和局。博奕學裏有一條定理,說明這種情況都必定有最少一方(可以是先手或後手)有必不敗的方法(不一定必勝)。看看以下三個簡單的遊戲流程圖:

    遊戲一

    開始 à 敗/和局

    棋手的兩個選擇都不能使他獲勝,但可以和局。因此棋手的最佳結果是和局

    遊戲二

    開始 à 和局/敗/勝

    棋手有三步可自由選擇,其中一步可使他獲勝。因此棋手可勝出這個遊戲

    遊戲三

    開始 à 敗/敗

    此為雙輸局面,棋手如何選擇都只能落敗(而他的對手則勝出)。對棋手而言,以上三個遊戲的最佳結果都可以在賽前知曉,所以其中一方必能不敗

    再看看這局遊戲:

    先手 à 後手 à 先手勝後手敗/和局

    先手 à 後手 à 和局/先手勝後手敗/先手敗後手勝

    先手 à 後手 à 先手勝後手敗/先手勝後手敗

     

    情況A就像遊戲一,後手最多只能迫使和局;情況B和C就如遊戲二和三,後手的最佳結果分別是勝出和落敗。因此,遊戲可以簡化成以下的情形:

     

    先手 à 和局/先手敗後手勝/先手勝後手敗

     

    對先手而言,這不就是遊戲一的情況嗎?因此,先手可以選擇棋步C勝出。應用相同的原理(也就是數學歸納法),在三步、四步、一億步內完成的遊戲,其實也可如此推敲先手能否迫使和局;若不能,則後手必能勝出。

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